概率论选讲期末作业
正则条件概率的存在唯一性
1 前言
在上学期的 概率论（双语） 学习过程中, 求是书院的同学们使用教材 [2] 学习概率论. 该教材并未采用测度论的语言引入概率论, 也没有涉及条件期望的概念. 然而, 在本学期第二周的 数理统计 课程证明中, 教材 [3] 中出现了以条件概率积分形式给出的条件期望. 这让我猜测, 教材 [3] 中提到的条件期望, 应该与我们上学期在 [1] 中学习到的内容是一致的. 经过与同学们讨论, 大家始终未能得出令人满意的结论. 直到第四周的 概率论选讲 课程中, 正则条件概率的概念被简要介绍, 但 [1] 认为该主题与后续课程内容关联不大, 因而未作深入讨论. 因此, 我决定将这一主题作为本次期末作业的研究重点.
2 正则条件概率
在课上的讨论中, 我们注意到条件概率 \[ P[A\mid \mathcal{A}_0]:=\mathbb{E}[\mathbb{I}_A\mid\mathcal{A}_0] \]
在几乎处处意义下具有以下性质: \[ 0\leq P[A\mid\mathcal{A}_0]\leq 1 \]
\[ P[\emptyset\mid\mathcal{A}_0]=0;\ P[\Omega\mid\mathcal{A}_0]=1 \]
对于两两无交的 \(A_n,\ n\in\mathbb{N}\), \[ P[\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\mid \mathcal{A}_0]=\sum_{n=1}^{\infty}P[A_n\mid \mathcal{A}_0] \]
然而, 这里的零测集依赖于每一个可测集 \(A\), 并不存在一个对所有 \(A\) 都适用的”通用”零测集, 使得条件概率 \(P[A\mid \mathcal{A}_0]\) 对 \(A\) 成为一个概率测度. 这促使我们寻求一种更精细的方式, 以更强的意义刻画 \(P[A\mid \mathcal{A}_0]\).
为了获得理想的”条件概率”, 我们需要在结构更良好的空间中进行工作, 在这样的空间里上述构造才能被严格地定义.
3 正则条件概率的存在性
在给出证明之前, 我们先陈述并证明后续论证所需的一些引理和定理.
证明 (引理 1 的证明). 设 \(f: \Omega \to \mathbb{R}\) 是 \(\sigma(X)\)-可测的, 其中 \(X: \Omega \to S\) 可测.
第一步: \(\sigma(X)\) 的结构
由 \(X\) 生成的 \(\sigma\)-代数为 \[ \sigma(X) = \{ X^{-1}(B) : B \in \mathcal{S} \}. \] 由于 \(f\) 是 \(\sigma(X)\)-可测的, 对于任意 Borel 集 \(B \subseteq \mathbb{R}\), 有 \[ f^{-1}(B) \in \sigma(X). \] 因此, 存在 \(A_B \in \mathcal{S}\), 使得 \[ f^{-1}(B) = X^{-1}(A_B). \] 这定义了一个从 \(\mathbb{R}\) 的 Borel 集到 \(\mathcal{S}\) 的映射 \(B \mapsto A_B\). 为保证一致性, 该映射需保持集合运算（如并、交、补）, 这由 \(f^{-1}\) 和 \(X^{-1}\) 都是 \(\sigma\)-同态所保证.
第二步: 用有理区间构造 \(g\)
定义 \(g: S \to \mathbb{R}\). 对每个有理数 \(r \in \mathbb{Q}\), 设 \[ A_r = A_{(-\infty, r]} \in \mathcal{S}, \] 其中 \(A_{(-\infty, r]}\) 满足 \(f^{-1}((-\infty, r]) = X^{-1}(A_r)\).
对 \(s \in S\), 定义 \[ g(s) = \inf \{ r \in \mathbb{Q} : s \in A_r \}. \] 该下确界是良定义的, 因为:
- 对任意 \(s \in S\), 由于 \(f(\omega) \in \mathbb{R}\), 必有某个 \(r \in \mathbb{Q}\) 使 \(f(\omega) \leq r\), 从而 \(X(\omega) \in A_r\).
- 集合 \(\{ r \in \mathbb{Q} : s \in A_r \}\) 有下界.
第三步: 验证 \(f = g \circ X\) 几乎处处成立
对 \(\omega \in \Omega\), 我们断言 \(f(\omega) = g(X(\omega))\), 除了一个 \(P\)-零测集外.
若 \(f(\omega) \leq r\), \(r \in \mathbb{Q}\):
\(f(\omega) \leq r\), 则 \(\omega \in f^{-1}((-\infty, r]) = X^{-1}(A_r)\), 即 \(X(\omega) \in A_r\), 故 \(g(X(\omega)) \leq r\).
反之, 若 \(X(\omega) \in A_r\), 则 \(g(X(\omega)) \leq r\), 即 \(f(\omega) \leq r\).
若 \(f(\omega) > r\), \(r \in \mathbb{Q}\):
- \(f(\omega) > r\), 则 \(\omega \notin f^{-1}((-\infty, r]) = X^{-1}(A_r)\), 即 \(X(\omega) \notin A_r\), 故 \(g(X(\omega)) > r\).
因此, \(g(X(\omega)) \leq f(\omega)\) 且 \(g(X(\omega)) \geq f(\omega)\), 除了 \(f(\omega) \neq g(X(\omega))\) 的零测集外. 由于 \(f\) 和 \(g \circ X\) 都是可测的, 集合 \(\{ \omega : f(\omega) \neq g(X(\omega)) \}\) 可测且测度为零.
第四步: \(g\) 的可测性
要证明 \(g\) 是 \(\mathcal{S}\)-可测的, 对任意 \(a \in \mathbb{R}\), 需有 \(\{ s \in S : g(s) \leq a \} \in \mathcal{S}\).
\(a\) 为有理数时: \[ \{ s \in S : g(s) \leq a \} = \bigcap_{\substack{r \in \mathbb{Q} \\ r < a}} A_r^c \cup A_a. \] 这由 \(g\) 的定义可得.
\(a\) 为任意实数时: 用递减有理数列 \(\{r_n\}\) 逼近 \(a\), 则 \[ \{ s \in S : g(s) \leq a \} = \bigcap_{n=1}^\infty A_{r_n}. \] 每个 \(A_{r_n} \in \mathcal{S}\), 可数交仍在 \(\mathcal{S}\) 中.
因此, \(g\) 是 \(\mathcal{S}\)-可测的.
第五步: 零测集上的唯一性
若 \(g'\) 也是满足 \(f = g' \circ X\) 几乎处处的可测函数, 则 \(g(X(\omega)) = g'(X(\omega))\) 对 \(P\)-几乎处处 \(\omega\) 成立. 由于 \(X\) 可测, \(P_X = P \circ X^{-1}\), 故 \(g = g'\) 在 \(P_X\)-几乎处处成立.
综上, 构造了可测函数 \(g: S \to \mathbb{R}\), 使 \(f = g \circ X\) 几乎处处成立, 证毕.
注记. Doob-Dynkin 引理说明, 任何 \(\sigma(X)\)-可测函数 \(f\) 都可以表示为 \(f = g \circ X\), 其中 \(g\) 是某个可测函数. 在正则条件概率的背景下, 这意味着条件期望 \(\mathbb{E}[1_A \mid \mathcal{A}_0]\) 作为 \(\mathcal{A}_0\)-可测函数, 可以表示为某个生成随机变量 \(\eta\)（如 \(\eta(\omega) = \omega\)）的函数. 这为构造核 \(K_{\mathcal{A}_0}(\omega, A)\) 提供了基础, 使其成为 \(\omega\) 的可测函数, 并满足所需的性质.
证明 (定理 1 的证明). 设 \(\mathcal{C}\) 是 \(\Omega\) 上的一个集合代数, \(\mu_0: \mathcal{C} \to [0, \infty]\) 是可数可加的前测度.
第一步: 外测度的构造
对任意 \(E \subseteq \Omega\), 定义外测度 \(\mu^*\): \[ \mu^*(E) = \inf\left\{ \sum_{n=1}^\infty \mu_0(C_n) : E \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty C_n,\, C_n \in \mathcal{C} \right\}. \] 可验证 \(\mu^*\) 满足外测度的三条性质:
单调性: 若 \(A \subseteq B\), 则 \(B\) 的任意覆盖也是 \(A\) 的覆盖, 故 \(\mu^*(A) \leq \mu^*(B)\).
可列次可加性: 对任意 \(\{A_n\}\), 分别取 \(\{C_{n,k}\}_{k=1}^\infty\) 覆盖 \(A_n\) 且 \(\sum_{k=1}^\infty \mu_0(C_{n,k}) \leq \mu^*(A_n) + \epsilon/2^n\). 则 \(\bigcup_{n,k} C_{n,k}\) 覆盖 \(\bigcup_n A_n\), 且 \(\sum_{n,k} \mu_0(C_{n,k}) \leq \sum_n \mu^*(A_n) + \epsilon\). 令 \(\epsilon \to 0\) 得 \(\mu^*(\bigcup_n A_n) \leq \sum_n \mu^*(A_n)\).
空集: \(\mu^*(\emptyset) = 0\), 因 \(\emptyset \subseteq \emptyset\) 且 \(\mu_0(\emptyset) = 0\).
第二步: Carathéodory 可测集
称 \(A \subseteq \Omega\) 是 \(\mu^*\)-可测的, 若对任意 \(E \subseteq \Omega\), \[ \mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A). \] 记所有 \(\mu^*\)-可测集为 \(\mathcal{A}\). 可证明 \(\mathcal{A}\) 是 \(\sigma\)-代数:
对补封闭: 若 \(A \in \mathcal{A}\), 则 \(A^c\) 也满足同样条件.
对可列并封闭: 先对有限并用归纳法证明, 再对可列并用极限逼近.
第三步: 限制在 \(\mathcal{A}\) 上是测度
将 \(\mu = \mu^*|_{\mathcal{A}}\), 可验证其为测度:
对任意两两不交的 \(\{A_n\} \subseteq \mathcal{A}\), 由可列次可加性有 \(\mu^*(\bigcup_n A_n) \leq \sum_n \mu^*(A_n)\).
反向不等式: 对有限并用 Carathéodory 条件递归证明 \(\mu^*(\bigcup_{n=1}^N A_n) = \sum_{n=1}^N \mu^*(A_n)\), 再令 \(N \to \infty\) 得可列可加性.
第四步: 扩张性质
对 \(C \in \mathcal{C}\), 需证 \(C\) 是 \(\mu^*\)-可测集且 \(\mu^*(C) = \mu_0(C)\):
可测性: 对任意 \(E \subseteq \Omega\), 设 \(\{C_n\}\) 覆盖 \(E\), 则 \(C_n \cap C,\, C_n \setminus C \in \mathcal{C}\), 且 \(\mu_0(C_n) = \mu_0(C_n \cap C) + \mu_0(C_n \setminus C)\). 两边求和得 \(\sum_n \mu_0(C_n) \geq \mu^*(E \cap C) + \mu^*(E \setminus C)\), 对所有覆盖取下确界得 \(\mu^*(E) \geq \mu^*(E \cap C) + \mu^*(E \setminus C)\).
等式: 由定义 \(\mu^*(C) \leq \mu_0(C)\). 反向不等式: 若 \(C \subseteq \bigcup_n C_n\), 则 \(\mu_0(C) \leq \sum_n \mu_0(C_n \cap C) \leq \sum_n \mu_0(C_n)\), 取下确界得 \(\mu^*(C) \geq \mu_0(C)\).
第五步: 唯一性
若 \(\mu_0\) 是 \(\sigma\)-有限的, 则扩张唯一. 设 \(\nu\) 也是 \(\mathcal{A}\) 上的测度且 \(\nu|_{\mathcal{C}} = \mu_0\):
用 \(\pi\)-\(\lambda\) 定理:
\(\mathcal{C}\) 是 \(\pi\)-系统（对有限交封闭）.
集合 \(\{A \in \mathcal{A} : \mu(A) = \nu(A)\}\) 是 \(\lambda\)-系统.
\(\mu\) 与 \(\nu\) 在 \(\mathcal{C}\) 上一致, 故在 \(\sigma(\mathcal{C})\) 上一致.
\(\sigma\)-有限性: \(\Omega = \bigcup_n \Omega_n\), \(\mu_0(\Omega_n) < \infty\). 对任意 \(A \in \mathcal{A}\), \(\mu(A \cap \Omega_n) = \nu(A \cap \Omega_n)\), 故 \(\mu(A) = \lim_{n \to \infty} \mu(A \cap \Omega_n) = \nu(A)\).
注记. Carathéodory 扩张定理保证: 只要前测度在代数上是 \(\sigma\)-有限的, 就能唯一地将其扩张为生成的 \(\sigma\)-代数上的测度. 在正则条件概率存在性的证明中, 这一结论确保了定义在可数生成集 \(\mathcal{C}\) 上的有限可加映射 \(f_A(\omega) = \mathbb{E}[1_A \mid \mathcal{A}_0](\omega)\) 能唯一扩张为 \(\mathcal{A}\) 上的概率测度 \(K_{\mathcal{A}_0}(\omega, \cdot)\). 这一步骤对于严谨构造正则条件概率核至关重要.
证明 (定理 2 的证明). 我们可以假设 \(S \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\). 对每个 \(r \in \mathbb{Q}\), 可以选取某个可测函数 \(f_r = f(\cdot, r): T \to [0, 1]\), 使得 \[ f(\eta, r) = \mathbb{P}[\xi \leq r \mid \eta] \quad \text{a.e.}, \quad r \in \mathbb{Q}. \tag{1}\]
令 \(A\) 为所有 \(t\in T\) 使得 \(f(t, r)\) 关于 \(r \in \mathbb{Q}\) 单调递增, 且在 \(\pm\infty\) 处极限分别为 1 和 0 的集合. 由于 \(A\) 由可数个可测条件刻画, 且这些条件在 \(\eta\) 上几乎处处成立, 故 \(A \in \mathcal{T}\) 且 \(\eta \in A\) 几乎处处成立. 现在定义 \[ F(t, x) = \mathbf{1}_A(t) \inf_{r > x} f(t, r) + \mathbf{1}_{A^c}(t) \mathbf{1}\{x \geq 0\}, \quad x \in \mathbb{R},\ t \in T, \] 注意到对每个 \(t \in T\), \(F(t, \cdot)\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的分布函数. 因此, 由命题~\(\ref{prop:2.14}\), 存在概率测度 \(m(t, \cdot)\) 使得 \[ m(t, (-\infty, x]) = F(t, x), \quad x \in \mathbb{R},\ t \in T. \] 对每个 \(x\), \(F(t, x)\) 显然关于 \(t\) 可测, 通过单调类论证可得 \(m\) 是从 \(T\) 到 \(\mathbb{R}\) 的概率核.
由 式 1 及 \(\mathbb{E}^\eta\) 的单调收敛性质, 有 \[ m(\eta, (-\infty, x]) = F(\eta, x) = \mathbb{P}[\xi \leq x \mid \eta] \quad \text{a.e.}, \quad x \in \mathbb{R}. \] 利用单调类论证和几乎处处的单调收敛性质, 可将上述关系推广为 \[ m(\eta, B) = \mathbb{P}[\xi \in B \mid \eta] \quad \text{a.e.}, \quad B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}). \tag{2}\]
特别地, \(m(\eta, S^c) = 0\) 几乎处处成立, 因此在 \(\mathcal{S} = \mathcal{B} \cap S\) 上, 令 \[ \mu(t, \cdot) = m(t, \cdot) \mathbf{1}\{m(t, S) = 1\} + \delta_s \mathbf{1}\{m(t, S) < 1\}, \quad t \in T, \] 其中 \(s \in S\) 任取, 则 式 2 对 \(\mu\) 依然成立. 如果 \(\mu'\) 是另一个满足条件的核, 则有 \[ \mu(\eta, (-\infty, r]) = \mathbb{P}[\xi \leq r \mid \eta] = \mu'(\eta, (-\infty, r]) \quad \text{a.e.}, \quad r \in \mathbb{Q}, \] 再由单调类论证可得 \(\mu(\eta, \cdot) = \mu'(\eta, \cdot)\) 几乎处处成立.
证明 (正则条件概率存在性的证明). 设 \((\Omega, \mathcal{A})\) 是标准 Borel 空间, \(P\) 是其上的概率测度, \(\mathcal{A}_0 \subseteq \mathcal{A}\) 是子 \(\sigma\)-代数.
第一步: 可数生成集与条件期望
由于 \((\Omega, \mathcal{A})\) 是标准 Borel 空间, 存在使 \(\mathcal{A}\) 成为 Borel \(\sigma\)-代数的 Polish 拓扑. 标准 Borel 空间的一个重要性质是: 对任意子 \(\sigma\)-代数, 概率测度都存在正则条件概率.
取 \(\mathcal{C}\) 为生成 \(\mathcal{A}\) 的可数 \(\pi\)-系统. 对每个 \(A \in \mathcal{C}\), 条件期望 \(\mathbb{E}[1_A \mid \mathcal{A}_0]\) 存在且为 \(\mathcal{A}_0\)-可测函数, \(P\)-几乎处处唯一. 由 Doob-Dynkin 引理（见 引理 1）, 对每个 \(A \in \mathcal{C}\), 存在可测函数 \(f_A: \Omega \to [0,1]\), 使得 \[ \mathbb{E}[1_A \mid \mathcal{A}_0] = f_A \circ \eta \quad \text{几乎处处}, \] 其中 \(\eta\) 是生成 \(\mathcal{A}_0\) 的可测函数（如 \(\eta(\omega) = \omega\)）.
第二步: 通过扩张构造概率核
对每个固定 \(\omega \in \Omega\), 定义 \(f_A(\omega)\), \(A \in \mathcal{C}\). 映射 \(A \mapsto f_A(\omega)\) 满足:
有限可加性: 若 \(A_1, A_2 \in \mathcal{C}\) 且互不相交, 则 \(f_{A_1 \cup A_2}(\omega) = f_{A_1}(\omega) + f_{A_2}(\omega)\);
非负性: \(f_A(\omega) \geq 0\);
归一性: \(f_\Omega(\omega) = 1\).
要将 \(f_A(\omega)\) 扩张为 \((\Omega, \mathcal{A})\) 上的概率测度, 可用 Carathéodory 扩张定理（见 定理 1）. 由于 \(\mathcal{C}\) 是 \(\pi\)-系统, 若 \(f_A(\omega)\) 在 \(\mathcal{C}\) 上可数可加, 则扩张唯一. 这可由主导收敛定理和 \(\mathcal{C}\) 生成 \(\mathcal{A}\) 得到.
因此, 对 \(P\)-几乎处处的 \(\omega\), 存在唯一的概率测度 \(K_{\mathcal{A}_0}(\omega, \cdot)\), 使得 \[ K_{\mathcal{A}_0}(\omega, A) = f_A(\omega), \quad \forall A \in \mathcal{C}. \]
第三步: 概率核的可测性
对每个 \(A \in \mathcal{A}\), 映射 \(\omega \mapsto K_{\mathcal{A}_0}(\omega, A)\) 需为 \(\mathcal{A}_0\)-可测. 由于 \(\mathcal{C}\) 生成 \(\mathcal{A}\), 可用 \(\pi\)-\(\lambda\) 定理: - 设 \(\mathcal{L} = \{ A \in \mathcal{A} : K_{\mathcal{A}_0}(\cdot, A) \text{ 是 } \mathcal{A}_0\text{-可测} \}\); - \(\mathcal{L}\) 是包含 \(\mathcal{C}\) 的 \(\lambda\)-系统, 故 \(\mathcal{L} = \mathcal{A}\).
第四步: 联合可测性
由 定理 2, 存在从 \(\mathcal{A}_0\) 到 \(\mathcal{A}\) 的概率核 \(\mu\), 使得 \[ \mathbb{P}[\xi \in \cdot \mid \eta] = \mu(\eta, \cdot) \quad \text{几乎处处}, \] 其中 \(\xi, \eta\) 是 \(\Omega\) 上的随机元. 此处 \(\mu(\eta(\omega), A) = K_{\mathcal{A}_0}(\omega, A)\), \(P\)-几乎处处成立. \((\omega, A) \mapsto K_{\mathcal{A}_0}(\omega, A)\) 的联合可测性由可数生成集 \(\mathcal{C}\) 的构造和 \(\mu\) 的唯一性保证.
第五步: 条件概率的验证
对所有 \(A \in \mathcal{A}\), \(K_{\mathcal{A}_0}(\omega, A)\) 满足:
可测性: \(K_{\mathcal{A}_0}(\cdot, A)\) 是 \(\mathcal{A}_0\)-可测;
积分公式: 对任意 \(B \in \mathcal{A}_0\), \[ \int_B K_{\mathcal{A}_0}(\omega, A) \, dP(\omega) = P(A \cap B). \] 该式对 \(A \in \mathcal{C}\) 成立, 由 \(\pi\)-\(\lambda\) 定理推广到所有 \(A \in \mathcal{A}\).
因此, \(K_{\mathcal{A}_0}\) 是正则条件概率核.
因此, 在标准 Borel 空间中, 对于任意子 \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{A}_0\), 正则条件概率总是存在的.
注记. 标准 Borel 空间的假设是至关重要的. 对于一般的可测空间, 正则条件概率可能并不存在.
4 正则条件概率的唯一性
正则条件概率在 \(P\)-零测集意义下是唯一的. 即, 如果 \(K_{\mathcal{A}_0}\) 和 \(\tilde{K}_{\mathcal{A}_0}\) 都是关于 \(\mathcal{A}_0\) 的正则条件概率, 则存在 \(P\)-零测集 \(N\), 使得对所有 \(\omega \notin N\) 及所有 \(A \in \mathcal{A}\), \[ K_{\mathcal{A}_0}(\omega, A) = \tilde{K}_{\mathcal{A}_0}(\omega, A). \]
这意味着正则条件概率在本质上是唯一的: 任意两个版本在概率为零的集合之外都一致.
证明 (正则条件概率唯一性的证明). 设 \(K_{\mathcal{A}_0}\) 和 \(\tilde{K}_{\mathcal{A}_0}\) 是关于 \(\mathcal{A}_0\) 的两个正则条件概率. 对每个 \(A \in \mathcal{A}\), 定义 \[ N_A = \{\omega \in \Omega : K_{\mathcal{A}_0}(\omega, A) \neq \tilde{K}_{\mathcal{A}_0}(\omega, A)\}. \]
第一步: 可数生成集上的零测集
由正则条件概率的定义, \(K_{\mathcal{A}_0}(\cdot, A)\) 和 \(\tilde{K}_{\mathcal{A}_0}(\cdot, A)\) 都是 \(\mathbb{E}[1_A \mid \mathcal{A}_0]\) 的版本, 因此 \(P\)-几乎处处相等, 即 \(P(N_A) = 0\).
由于 \(\mathcal{A}\) 是标准 Borel, 存在可数 \(\pi\)-系统 \(\mathcal{C}\) 生成 \(\mathcal{A}\). 定义 \[ N = \bigcup_{A \in \mathcal{C}} N_A. \] \(\mathcal{C}\) 可数, \(N\) 是可数个 \(P\)-零测集的并, 故 \(P(N) = 0\).
第二步: \(\pi\)-\(\lambda\) 定理推广到整个 \(\sigma\)-代数
对任意 \(\omega \notin N\), 定义 \[ \mathcal{D}_\omega = \{ A \in \mathcal{A} : K_{\mathcal{A}_0}(\omega, A) = \tilde{K}_{\mathcal{A}_0}(\omega, A) \}. \] \(\mathcal{D}_\omega\) 是包含 \(\mathcal{C}\) 的 \(\lambda\)-系统:
包含全集: \(K_{\mathcal{A}_0}(\omega, \Omega) = 1 = \tilde{K}_{\mathcal{A}_0}(\omega, \Omega)\), 故 \(\Omega \in \mathcal{D}_\omega\).
对可列不交并封闭: 若 \(A_n \in \mathcal{D}_\omega\) 两两不交, 则 \[ K_{\mathcal{A}_0}\left(\omega, \bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty K_{\mathcal{A}_0}(\omega, A_n) = \sum_{n=1}^\infty \tilde{K}_{\mathcal{A}_0}(\omega, A_n) = \tilde{K}_{\mathcal{A}_0}\left(\omega, \bigcup_{n=1}^\infty A_n\right). \]
对补集封闭: 若 \(A \in \mathcal{D}_\omega\), 则 \[ K_{\mathcal{A}_0}(\omega, A^c) = 1 - K_{\mathcal{A}_0}(\omega, A) = 1 - \tilde{K}_{\mathcal{A}_0}(\omega, A) = \tilde{K}_{\mathcal{A}_0}(\omega, A^c). \]
由于 \(\mathcal{C} \subseteq \mathcal{D}_\omega\) 且 \(\mathcal{C}\) 是 \(\pi\)-系统, \(\pi\)-\(\lambda\) 定理得 \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{D}_\omega\). 因此对所有 \(\omega \notin N\) 及 \(A \in \mathcal{A}\), 有 \(K_{\mathcal{A}_0}(\omega, A) = \tilde{K}_{\mathcal{A}_0}(\omega, A)\).
\(N\) 是 \(P\)-零测集, 故正则条件概率在 \(P\)-几乎处处唯一.
注记. 这一唯一性性质确保, 尽管正则条件概率在每一点上未必唯一, 但任意两个版本在 \(P\)-几乎处处都一致.
5 条件期望的积分表示
至此, 我们已经证明了条件概率可以提升为更精细的版本（即正则条件概率）, 它本身是一个概率测度. 这使得我们可以以它为测度定义积分.
接下来, 我们将证明: 以正则条件概率为测度的积分运算, 恰好与条件期望一致.
证明 (定理 3的证明).
第一步: 示性函数
设 \(X = 1_A\) 关于 \(A \in \mathcal{A}\). 由正则条件概率的定义有: \[ \mathbb{E}[1_A \mid \mathcal{A}_0](\omega) = K(\omega, A) = \int_\Omega 1_A(\omega') K(\omega, d\omega') \quad \text{a.e. } P. \]
第二步: 简单函数
设 \(X = \sum_{i=1}^n a_i 1_{A_i}\) 关于 \(A_i \in \mathcal{A}\), \(a_i \in \mathbb{R}\). 由条件期望与积分的线性性有: \[ \mathbb{E}[X \mid \mathcal{A}_0](\omega) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbb{E}[1_{A_i} \mid \mathcal{A}_0](\omega) = \sum_{i=1}^n a_i \int_\Omega 1_{A_i}(\omega') K(\omega, d\omega') = \int_\Omega X(\omega') K(\omega, d\omega'). \]
第三步: 非负可积函数
设 \(X \geq 0\) 是可测函数. 取简单函数单调列 \(X_n \uparrow X\). 由Levi单调收敛定理:
\(\mathbb{E}[X_n \mid \mathcal{A}_0] \uparrow \mathbb{E}[X \mid \mathcal{A}_0]\) a.e.
\(\int X_n K(\omega, d\omega') \uparrow \int X K(\omega, d\omega')\).
因此: \[ \mathbb{E}[X \mid \mathcal{A}_0](\omega) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n \mid \mathcal{A}_0](\omega) = \lim_{n \to \infty} \int X_n K(\omega, d\omega') = \int X K(\omega, d\omega') \quad \text{a.e. } P. \]
第四步: 一般可积函数
对于任意可积函数 \(X\), 可分解为 \(X = X^+ - X^-\) 其中 \(X^\pm \geq 0\). 由第三步: \[ \mathbb{E}[X \mid \mathcal{A}_0] = \mathbb{E}[X^+ \mid \mathcal{A}_0] - \mathbb{E}[X^- \mid \mathcal{A}_0] = \int X^+ K(\omega, d\omega') - \int X^- K(\omega, d\omega') = \int X K(\omega, d\omega') \quad \text{a.e. } P. \]
Step 5: 可测性与唯一性
可测性: 根据概率核 \(K\) 的构造, 积分 \(\int X K(\omega, d\omega')\) 是 \(\mathcal{A}_0\)-可测的.
唯一性: 正则条件概率是一致的在 \(P\)-几乎处处的意义下, 确保了积分表示也是几乎处处一致的.
6 结语
通过本次作业的研究, 我们系统梳理了Regular Conditional Probability的构造逻辑, 并严格证明了其在标准 Borel 空间下的存在性与唯一性. 这一结果表明, 在满足良好拓扑结构的测度空间中, 条件概率可以被提升为一个关于样本点 \(\omega\) 的概率测度核 \(K_{\mathcal{A}_0}(\omega,A)\) , 从而避免了传统条件概率定义中因依赖于事件 A 而导致的”零测集选取问题”. 这一结论为条件期望的积分表示提供了严格的数学基础.
然而, 正则条件概率的构造对空间的结构性质具有强依赖性. 若放宽至一般可测空间, 此类核的存在性可能失效.
致谢
衷心感谢朱蓉禅老师在本学期《概率论选讲》课程中的指导. 感谢刘晨浩同学与宋柯师姐在课外学习提供的帮助. 同时也感谢大三强基计划的钟星宇学长与我共同探究”不同版本的教材中条件概率与条件期望是否一致”, 促使我深入思考正则化条件概率的必要性. 此外, 感谢钟星宇学长的开源排版工具SunQuarTex, 使本文档的排版得以高效完成.